Badanie przebiegu zmienności funkcji jest czynnością polegającą na wyznaczeniu pewnych charakterystycznych dla niej własności na podstawie jej samej i pierwszych dwóch pochodnych. Często ta czynność sprawia nie lada kłopot początkującym matematykom. W poniższym artykule pokazana zostaje metoda przeprowadzania przebiegu zmienności funkcji, która opatrzona zostaje przykładem.

W przebiegu zmienności funkcji należy wyznaczyć następujące elementy:

1. Dziedzina funkcji.
2. Miejsca zerowe i punkt przecięcia z osią OY.
3. Parzystość i nieparzystość.
4. Granice w +∞ i -∞, oraz w punktach nieciągłości.
5. Asymptoty.
6. Pierwsza pochodna funkcji, f'(x)=0 i f'(x)>0.
7. Druga pochodna funkcji, f''(x)=0 i f''(x)>0.
8. Tabelka.
9. Wykres funkcji.
10. Zbiór wartości.


Przykład:

Weźmy funkcję określoną wzorem: f(x) = (x² + 1)/(x² - 1)

1. Dziedzina funkcji.

D_f = R \ {-1;1} (bo dla x=(-1) lub x=1 mianownik jest równy zeru)

2. Miejsca zerowe i punkt przecięcia z osią OY.

a) Miejsca zerowe

0 = (x² + 1)/(x² - 1) / *(x² - 1)
0 = x² + 1
x² = -1 → funkcja nie ma miejsc zerowych

b) Punkt przecięcia z osią OY

f(0) = (0+1)/(0-1) = 1/(-1) = -1 → punkt ten ma współrzędne (0,-1)

3. Parzystość i nieparzystość funkcji.

a) parzystość
Sprawdzamy, czy zachodzi warunek parzystości, a więc czy dla każdego x należącego do dziedziny zachodzi równość:

f(x) = f(-x)

L = (x² + 1)/(x² - 1)
P = ((-x)² + 1)/((-x)² - 1) = (x² + 1)/(x² - 1)
L = P → funkcja f(x) jest parzysta

b) nieparzystość
Sprawdzamy, czy zachodzi warunek nieparzystości, a więc czy dla każdego x należącego do dziedziny zachodzi równość:

-f(x) = f(-x)

L = -[(x² + 1)/(x² - 1)]
P = ((-x)² + 1)/((-x)² - 1) = (x² + 1)/(x² - 1)
L ≠ P → funkcja f(x) nie jest nieparzysta
 
4. Granice w +∞ i -∞ oraz w punktach nieciągłości.

Funkcja jest parzysta, więc możemy ograniczyć obliczanie granic do przedziału (0,+∞). Przedział (-∞,0) bowiem jest odbiciem symetralnym względem osi OY.

Lim_x→+∞ (x² + 1)/(x² - 1) = Lim_x→+∞ (1 + 1/x²)/(1 - 1/x²) = 1

Lim_x→1^- (x² + 1)/(x² - 1) = Lim_x→1^- (x² + 1)/[(x - 1)(x + 1)] = [2/ 0^-*2] = -∞ - wykres dochodząc do punktu x=1 od lewej strony będzie zmierzał ku -∞

Lim_x→1⁺ (x² + 1)/(x² - 1) = Lim_x→1⁺ (x² + 1)/[(x - 1)(x + 1)] = [2/ 0⁺*2] = +∞ - wykres dochodząc do punktu x=1 od prawej strony będzie zmierzał ku +∞

5. Asymptoty.

Pozioma → y = 1
Pionowa → x = 1 i x = (-1)
Ukośna → Pokrywa się z poziomą

6. Pierwsza pochodna funkcji, f '(x)=0 i f '(x)>0.

f'(x) = (2x(x² - 1) - 2x(x² + 1))/(x²-1)² = (2x³ - 2x - 2x³ - 2x)/(x²-1)² = -4x/(x²-1)²

a) f '(x) = 0

-4x/(x²-1)² = 0   /*(x²-1)²
-4x = 0
x = 0, a więc f'(x) = 0 <=> x=0

b) f '(x) > 0

4x > 0    /:(-4)
x < 0, a więc f '(x) > 0 <=> x<0

7. Druga pochodna funkcji, f ''(x)=0 i f ''(x)>0.

f ''(x) = (-4(x²-1)² - (-4x)(2(x² - 1) * 2x))/(x² - 1)⁴ = (-4x⁴ + 8x² - 4 + 16x⁴ - 16x²)/(x² - 1)⁴ = (12x⁴ - 8x² - 4)/(x² - 1)⁴

a) f ''(x) = 0

(12x⁴ - 8x² - 4)/(x² - 1)⁴ = 0 /* (x² - 1)⁴
12x⁴ - 8x² - 4 = 0 / :4
dla t = x² i t>0
3t² - 2t - 1 = 0
Δ = 4 + 12 = 16 → √Δ = 4
t₁ = (2-4)/6 = -(2/3) → Niezgodne z założeniem → t>0
t₂ = (2+4)/6 = 1 → t2 nie należy do dziedziny

W związku z tym: f ''(x) = 0 <=> x ε {}

b) f ''(x) > 0

(12x⁴ - 8x² - 4)/(x² - 1)⁴ > 0 /* (x² - 1)⁴
3t² - 2t - 1 = 0 → Miejsca zerowe tego wielomianu zostały podane w podpunkcie a). Są to 1 i -1.

f ''(x) > 0 <=> x ε (-∞;-1)(1;+∞)

8. Tabelka.