Tezę, zawartą w powyższym pytaniu, udowodnimy nie wprost. Założymy więc, że jest ona fałszywa i jeżeli dojdziemy do sprzeczności, to twierdzenie automatycznie będzie prawdziwe.

Załóżmy więc, że pierwiastek z dwóch jest liczbą wymierną. W takim razie będziemy w stanie ją zapisać w postaci a/b, gdzie a i b są liczbami względnie pierwszymi i naturalnymi (ułamek a/b jest nieskracalny). W ten  sposób możemy otrzymać następujące równanie:

2 = √2² = (a/b)² =(a)²/(b)² (w skrócie: 2 = (a)²/(b)²)

Pomnóżmy równanie przez b². Uzyskamy:
2b² = a²
Wynika z tego, że a² jest liczbą parzystą (jest ona iloczynem dwójki i innej liczby), z czego wynika, że a również jest liczbą parzystą.

Korzystając z tego, że a jest parzyste, możemy zapisać, że:
a = 2c (gdzie c jest dowolną liczbą naturalną)
Podstawiając do wcześniejszego równania otrzymamy:
2b² = (2c)²
2b² = 4c² /:2
b² = 2c²

Skoro a i b są liczbami parzystymi, to nie mogą być względnie pierwsze. Otrzymaliśmy więc sprzeczność, gdyż na początku zakładaliśmy inaczej. W ten sposób zostało udowodnione, że pierwiastek z dwóch jest liczbą niewymierną.

Analogicznie można przeprowadzić dowód niewymierności każdego pierwiastka z liczby, która nie jest kwadratem innej naturalnej.